حل وحدة أنظمة المعادلات والمتباينات عاشر متقدم
أنظمة المعادلات والمتباينات
حل أنظمة المعادلات
1- حل الأنظمة باستخدام التمثيل البياني :
نظام المعادلات هو معادلتين أو أكثر تستخدم نفس المتغيرات لحل نظام معادلات به متغيرين أوجد الزوج المرتب الذي يحقق جميع المعادلات
لحل نظام معادلات باستخدام جدول أولاً اكتب كل معادلة في صورة معادلة الميل المقطع ثم عوض القيم المختلفة عن المحور x وحل للحصول على قيم المحور y المقابلة لتسهيل الاستخدام اخر 1أو 0 كقيم اولى للمحور x
الميل وتصنيف الأنظمة : إذا كانت المعادلات لها ميل مختلف فسيكون النظام متسقاً و مستقلاً
يمكن تصنيف أنظمة المعادلات حسب عدد الحلول يكون
النظام متسقاً : إذا أحتوى على حل واحد على الأقل
النظام غير متسق : إذا لم يحتوي على أي حل
النظام مستقلاً: إذا احتوى على حل واحد فقط
النظام التابع : إذا احتوى على عدد غير محدود من الحلول
2- حل أنظمة باستخدام الجبر :
تستخدم طرق جبرية لإيجاد حلول أنظمة المعادلات أحد الطرق الجبرية تسمى طريقة التعويض
مفهوم طريقة التعويض :
خطوة 1 : حل معادلة واحدة لإيجاد متغير واحد
خطوة 2 : عوض المقدار الناتج في المعادلة الأخرى لاستبدال المتغير وبعد ذلك حل المعادلة
خطوة 3 : عوض لإيجاد المتغير الأخر
يمكن استخدام انظمة المعادلات لحل الكثير من مسائل الحياة اليومية بما في ذلك التي تضمن قيودا مثلث من خلال دالتين مختلفتين أو أكثر
يمكنك أستخدام طريقة الحذف لحل نظام عندما يكون أحد المتغيرات نفس المعامل في كلتا المعادليتن
مفهوم طريقة الحذف :
خطوة 1 : ضرب أحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد للحصول على معادلتين يحتويان على حدود متقابلة
خطوة 2 : جمع المعادلات مع حذف متغير واحد وبعد ذلك حل المعادلة
خطوة 3 : التعويض لإيجاد المتغير الأخر
في بعض الأحيان لا يؤدي جمع المعادلات أو طرحها إلى حذف أي متغير يمكنك استخدام الضرب والمضاعفات المشتركة الصغرى للحصول على معامل مشترك
حل أنظمة المتباينات من خلال الرسم البياني
1- أنظمة المتباينات :
حل نظام متباينات تعني إيجاد الأزواج المرتبة التي تحقق جميع المتباينات في النظام
مفهوم حل أنظمة المتباينات:
خطوة 1: قم بالتمثيل بيانياً كل متباينة مع تظليل المساحة الصحيحة
خطوة 2 : حدد المنطقة المظللة لكل المتباينات هذا هو حل النظام
المجموعة الخالية : المجموعة الخالية تسمى أيضاً بمجموعة العدم يمكن تمثيلها بواسطة {} من الممكن أن لا تتقاطع المناطق عندما يحدث ذلك لا يوجد حل للنظام أو مجموعة الحل تكون المجموعة الخالية
2- أوجد رؤوس المنطقة المحصورة :
أحياناً التمثيل البياني لمجموعة المتباينات ينتج منطقة محصورة في شكل متعدد الأضلاع لإيجاد رؤوس المنطقة حدد الأحداثيات للنقط التي عندها تتقاطع الحدود
إيجاد الحل الأمثل عن طريق البرمجة الخطية
1- قيمة عظمى وقيمة صغرى :
تحدث المواقف الصعبة في الأعمال التي تأمل أن ترفع الأرباح او تقلل التكاليف ويجب أخذ العديد من القيود بعين الأعتبار يمكن التعامل مع هذه الموضوعات باستخدام نظام من المتباينات في البرمجة الخطية
البرمجة الخطية : هي طريقة لإيجاد القيمة الصغرى والعظمى للدالة عن طريق نظام المتباينات وكل متباينة تمثل قيد بعد تمثيل النظام بيانياً والتعويض برؤوس مجموعة الحل وتسمة منطقة الحلول الممكنة في الدالة ويمكنك تحديد القيم الصغرى والعظمى
مفهوم منطقة الحلول الممكنة
منطقة الحلول الممكنة محصورة أو محدودة بقيود القيمة العظمى والصغرى للدالة المتصلة دائما تظهر عند رؤوس منطقة الحلول الممكنة
إذا كانت منطقة الحلول الممكنة مفتوحة وممتددة فأنها تكون غير محدودة ويكون للمناطق غير المحدودة قيمة عظمى أو قيمة صغرى
2- إيجاد الحل الأمثل :
إيجاد الحل الأمثل يعني أن تسعى لإيجاد السعر أو الكمية الأفضل لتقليل التكاليف إلى أدنى حد أو زيادة الأرباح إلى أقصى حد هذا دائما يتحقق باستخدام البرمجة الخطية
مفهوم إيجاد الحل الأمثل عن طريق البرمجة الخطية :
الخطوة 1 : عرف المتغيرات
الخطوة 2 : اكتب مجموعة من المتباينات
الخطوة 3 : مثل بيانياً مجموعة من المتباينات
الخطوة 4 : أوجد أحداثيات رؤوس منطقةالحلول الممكنة
الخطوة 5 : اكتب دالة خطية لتصل للحد الأقصى أو الأدنى
الخطوة 6 : عوض بأحداثيات الرؤوس في الدالة
الخطوة 7 : اختر النتيجة الأعلى أو الأقل حل المسألة
نظم المعادلات في ثلاثة متغيرات
1- النظم في ثلاثة متغيرات :
مثل نظم المعادلات في المتغيرين يمكن للنظم في ثلاثة متغيرات أن يكون لها حل واحد أو حلول لا حصر لها أو بدون حل الحل في هذا النظام هو ثلاثي مرتب
التمثيل البياني في المتغيرات الثلاثية هو تمثيل بياني ثلاثي الأبعاد على شكل مخطط التمثيل البياني لنظام المعادلات في متغيرات تشكل نظاما من المخططات
حل واحد : تقاطع المخططات الفردية الثلاثة في نقطة واحدة
عدد لا نهائي من الحلول : تتقاطع المخططات في خط كل أحداثي على الخط تمثل حلاً للنظام
لا يوجد حل : لا يوجد نقاط مشتركة بين المخططات الثلاثة
حل نظم المعادلات في المتغيرات الثلاث يشبه حل نظم المعادلات في المتغيرين استخدام إستراتيجيات الإبدال والحذف لإيجاد ثلاثي مرتب يمثل حلاً النظام
تنظيم البيانات بالمصفوفات
المصفوفة : مجموعة مستطيلة من المتغيرات او الثوابت في الصفوف والأعمدة عادة بين قوسين في المصفوفة الأعداد أو البيانات مرتبة ليكون كل مكان في المصفوفة له غرض كل قيمة في المصفوفة اسمها عنصر نسمي المصفوفات عادة باستخدام الأحرف الكبيرة المصفوفة توصف بالأبعاد
يستخدم الأشخاص في القوى العاملة برنامج جدولة الحاسب الآلي ورق لترتيب أو عرض أو تحليل البيانات مثل المصفوفة البيانات في الصفحة تدخل في الصفوف والأعمدة ثم تستخدم البيانات لإيجاد التمثيلات البيانية أو عمل حسابات
العمليات باستخدام المصفوفات
1- تحليل البيانات :
يمكن تحليل البيانات المنظمة في مصفوفة وتفسيرها كما يلزم تحليل إضافي في بعض الأحيان أمل في الأوقات الأخرى فتكون البيانات دون معنى
2- عمليات جبرية :
يمكن تنفيذ العديد من عمليات الجبر على البيانات المنظمة في مصفوفات ويمكن جمع المصفوفات أو طرحها فقط إذا كانت لها نفس الأبعاد
مفهوم جمع وطرح المصفوفات
لجمع أو طرح مصفوفتين بنفس الأبعاد اجمع أو أطرح العناصر المتناظرة فيهما
يمكنك ضرب أي مصفوفة في ثابت يسمى الثابت القياسي وعند القيام بهذا فأنت تضرب كل عنصر على حدة في قيمة الثابت وتسمى هذه العملية باسم الضرب في ثابت قياسي
*تنطبق العديد من خصائص الأعداد الحقيقة على المصفوفات وفيما يلي ملخص لهذه الخصائص
خاصية التبديل في الجمع - خاصية التجميع في الجمع - خاصية توزيع الثابت القياسي على اليسار - خاصية توزيع الثابت القياسي على اليمين
1- ضرب المصفوفات : يمكنك ضرب مصفوفتين A B فقط إذا كان عدد الأعمدة في A مساوياً لعدد الصفوف في B
2- خصائص المصفوفات :
تذكر أن خصائص الأعداد الحقيقة تسري أيضاً على جمع المصفوفات ومع ذلك فأن بعض هذه الخصائص لا تسري دائماً على ضرب المصفوفات
مفهوم خصائص ضرب المصفوفات :
بالنسبة لأي مصفوفات A B C يتم تحديد ناتج ضرب المصفوفات وأي ثابت قياسي K تكون الخصائص التالية صحيحة :
خاصية التجميع في ضرب المصفوفات
خاصية التجميع في الضرب القياسي
خاصية التوزيع على اليسار
خاصية التوزيع على اليمين