دليل المعلم وحدة الدوال المثلثية الرياضيات الصف العاشر المتقدم

دليل المعلم وحدة الدوال المثلثية الرياضيات الصف العاشر المتقدم

مشروع الوحدة

كن أو لا تكون 

يستخدم الطلاب ما تعلموه عن حساب المثلثات لإكمال مشروع معين. يتناول مشروع هذه الوحدة الوعي المعرفي البيئي، والعديد من المهارات الخاصة الضرورية لنجاح الطالب في إطار عمل التعلم في القرن الواحد والعشرين. 

المفردات الأساسية قدم المفردات الأساسية في الوحدة متبعا النظام التالي. 

تعريف: الراديان الواحد عبارة عن قياس زاوية 9 في الوضع المعياري ويقطع شعاعيها قوس بطول وحدة واحدة على دائرة الوحدة. 

تقويم ما الذي يقيسه الراديان ؟ الزاوية 

منظم الدراسة 

المطويات دينا زايك 

التركيز يدون الطلاب ملاحظات أثناء استكشاقهم الدوال المثلثية في دروس هذه الوحدة. 

التدريس اطلب من الطلاب إعداد المطويات وتسميتها حسب الموضح. 

كلف الطلاب باستخدام الجزء المناسب عند تناولهم كل درس في هذه الوحدة. شجعهم أيضا على تطبيق ما تعلموه من خلال كتابة أمثلة من عندهم. 

وقت الاستخدام شجع الطلاب على إضافة المزيد من المعلومات إلى المطويات أثناء دراسة الوحدة وعلى استخدام تلك المطويات عند المراجعة للاستعداد لاختبار الوحدة.

الهدف استخدام ورقة بيانات لاستكشاف أطوال الأضلاع في المثلثات قائمة الزاوية الخاصة. 

المواد الخاصة لكل طالب برنامج ورقة البيانات وجهاز الكمبيوتر 

نصيحة للتدريس 

اطلب من الطلاب ممارسة مهاراتهم في استخدام ورقة بيانات عن طريق إدخال البيانات في مثال. وكلفهم بتنسيق الخلايا قبل البدء في إدخال البيانات، وذلك باستخدام أمر تنسيق الخلايا (Format cells). نسق الأعمدة C و E و F للأعداد التى بها 9 منازل عشرية. ونسق الأعمدة A و B و D للأعداد الصحبحة. 

2 التدريس 

العمل في مجموعات متعاونة 

اطلب من الطلاب التعاون مع زملائهم. وامزج القدرات بحيث تجمع الطالب الذي لديه معرفة أكثر بأوراق البيانات مع طالب لديه خبرة أقل. 

تدريب كلف الطلاب بإكمال النشاط والتمارين 1-3. 

3 التقويم 

التقويم التكويني 

استخدم التمرين 1 لتفويم مدى فهم الطلاب  لطريقة إدخال البيانات في ورقة بيانات. من العملي إلى النظري 

القاعدة أو اطلب من الطلاب وصف النمط أو الصيغة لمختلف الخلايا في ورقة البيانات.

1 التركيز 

التخطيط الرأسي  

قبل الدرس 11-1 استخدام نظرية فيثاغورس في إيجاد أطوال أضلاع المثلثات القائمة. 

الدرس 11-1 إيجاد قيم النسب المثلثية. استخدام النسب المثلثية في إيجاد أطوال أضلاع المثلثات القائمة وقياسات الزوايا فيها. 

بعد الدرس 11-1 استكشاف التمثيلات البيانية لدوال sine و cosine. 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

اطلب من الطلاب قراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس. اطرح السؤال التالي: 

■ ما نوع الزاوية المتكونة بين حبل السحب والحبل الأفقي ؟ حادة 

■ أي ضلع في المثلث يقابل الزاوية القائمة ؟ أي ضلع يقابل الزاوية بمقياس x "؟ الوتر ): الارتفاع 

■ إذا كان طول L ثابتا وقيمة x تزداد. فكيف يتغير الارتفاع ؟ يزداد الارتفاع.

مثال إضافي 

a. الجولف يبدو من الكاميرا المثبتة في منطاد مراقبة صغير أن المسافة بين لاعب الجولف والحفرة في المثال 6a هي مسافة أفقية. أوجد المسافة الأفقية.

b. قطار الملاهي يبدو من المنطاد أن المسافة الظاهرة التي يقطعها قطار الملاهي في المثال 6b هي مسافة أفقية من أعلى التل إلى أسفله. أوجد المسافة الأفقية. m 34.6

إرشاد للمعلمين الجدد 

الحاسبات عند استخدام الحاسبة العلمية (بخلاف حاسبة التمثيل البياني). ربما يكون تسلسل إيجاد sine أو cosine أو tan الزاوية لزاوية هو إدخال قياس الزاوية. كأن يتم أولا إدخال 20. ، 

الاجابة النموذجية الضلع المقابل والوتر في المثلث الحاد موجبة. اذا فهي دالة sine موجبة. 

56. قيمة A sin تساوي C sin. الضلع المقابل C 

بما أن الوتر واحد. فإن طول الضلع المقابل للزاوية A يجب أن يساوي طول الضلع المقابل للزاوية C. وبما أن الضلعان لهما قياس واحد. فإن المثلث متساوي الساقين. 

57. الإجابة النموذجية: يصف الميل . الارتفاع الرأسي إلى الانحدار الأفقي للسقف. ويكون الارتفاع الرأسي مقابلا للزاوية المتكونة بين السقف  والمنحدر الأفقي. والمنحدر الأفقي هو الضلع المجاور. إذا. فظل زاوية الارتفاع يساوي نسبة الارتفاع إلى المنحدر. أو انحدار السقف:

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 11-2 استخدام الزوايا مع قياساتها بالدرجات. 

الدرس 11-2 رسم الزوايا وإيجاد قياساتها في الوضع القياسي. التحويل القياسات بالدرجة والقياسات بالراديان. 

بعد الدرس 11-2 استكشاف التمثيلات البيانية لدوال sine و cosine. 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

اطلب من الطلاب قراءة القسم لماذا؟ الوارد في هذا الدرس. اطرح السؤال التالي: 

■ في أي اتجاه تتجه نقطة الظل في الصباح ؟ الغرب 

■ في أي وقت تحصل على أقصر طول للظل ؟ وقت الظهيرة 

■ اشرح لماذا يتحرك الظل بمقدار 150 كل ساعة. "يعود" الظل إلى أي موضع معين كل 24 ساعة. ومقياس الدائرة كاملة. مقسوما على 24. 360. أو "15. يساوي 24—

مثال إضافي 

أوجد زاوية ذات قياس موجب وزاوية ذات قياس سالب تشتركان في ضلع الانتهاء مع كل زاوية. 

التدريس باستخدام التكنولوجيا 

الرسائل الفورية اطلب من الطلاب العمل في مجموعات ثنائية. وينبغي ان يرسل أحدهما رسالة تتضمن قياس زاوية. وينبغي للطالب الآخر أن يرد بقياسي الزاويتين المشتركتين في ضلع الانتهاء مع الزاوية المعطاة. وعندئذ ينبغي للطلاب تبادل الأدوار وتكرار النشاط. 

2 التحويل بين الدرجات والراديان 

المثال 4 يوضح طريقة التحويل بين الدرجات والراديان. والمثال 5 يوضح طريقة التحويل واستخدام قياسات الزوايا في موقف من الحياة اليومية. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

البنية ينظر الطلاب المتفوقون في الرياضيات عن قرب لتمييز نمط أو بنية ما. وجه الطلاب إلى "ملخص المفهوم" ووضح أن قياسات الزوايا مرتبة عكس اتجاه عقارب الساعة. 

مثال إضافي أعد كتابة كل قياس بالدرجة بالراديان وكل قياس بالراديان بالدرجة. 

انتبه! 

تحليل الخطأ فيما يتعلق بالتمرين 48، إذا كان الطلاب يعتقدون أن أبوب على صواب. فوضح أنه إذا كان قياس الزاوية الموضحة باتجاه عقارب الساعة.  فإن قياس الزاوية يكون سالبا والقياس "( - 360) سيكون أكبر القياس 3600، وليس أقل منه. 

4 التقويم 

حصاد الأمس اطلب من الطلاب شرح كيف ساعدهم درس الأمس عن الزوايا في المثلثات قائمة الزاوية في فهم وتوضيح درس اليوم عن الزوايا في الوضع القياسي. 

الهدف استخدام نسبة sine لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع. 

نصيحة للتدريس 

إذا استخدم الطلاب الحاسبات في تقريب المساحات. فذكرهم أن يتأكدوا أن الحاسبات في وضع الدرجات. 

2 التدريس 

العمل في مجموعات متعاونة 

اطلب من الطلاب العمل في مجموعات ثنائية والاستفادة من قدرات بعضهم البعض في إكمال النشاط. 

اطلب من كل طالب في المجموعة الثنائية أن يرسم قطرا مختلفا لمتوازي الأضلاع. ثم اطلب منهم المقارنة بين حساباتهم للمساحة للتحقق من إجاباتهم. 

اطرح السؤال التالي: ما جزء متوازي الأضلاع الذي يمثله A sin fAB  A sin. إذا A sin AB هي الارتفاع AB لمتوازي الأضلاع. 

تدريب اطلب من الطلاب إكمال التمرين 1-3. 

3 التقويم 

التقويم التكويني 

استخدم التمرين 2 في تقويم ما إذا كان الطلاب يمكنهم حساب مساحة متوازي الأضلاع عند معرفة ضلعين متتاليين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 11-3 إبجاد قيم النسب المثلثية للزوايا الحادة. 

الدرس 11-3 إيجاد قيم النسب المثلثية للزوايا العامة. إيجاد قيم النسب المثلثية باستخدام زوايا المرجع. 

بعد الدرس 11-3 استكشاف التمثيلات البيانية لدوال ظل الزاوية وقاطع التمام والقاطع وظل التمام . 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

اطلب من الطلاب قراءة القسم لماذا؟ في الدرس وأخبرهم أن موضعي الذراعين هما 2200 في اتجاه عقارب الساعة و 500 عكس اتجاه عقارب الساعة من الوضع القياسي. 

اطرح السؤال التالي: 

• ما الربع المشار إليه بـ "200 في اتجاه عقارب الساعة "؟ الربع الرابع 

• ما الربع المشار إلبه بـ "2000 عكس اتجاه عقارب الساعة "؟ الربع الثالث 

• كيف يمكنك وصف الموضع "200 في اتجاه عقارب الساعة" بالنسبة إلى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة ؟ 3400 عكس اتجاه عقارب الساعة

مثال إضافي 

البيسبول في المثال 4. افترض أن قياس الزاويتين في القاعدتين الثانية والثالثة تساويان 580 و 410.  على التوالي. فكم كانت تبعد الكرة عن القاعدة الثانية عندما تم التقاطها ؟ حوالي m 17.9 

3 التمرين 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين من 1 إلى 12 للتحقق من استيعاب الطلاب. 

استخدم المخطط أسفل هذه الصفحة لتخصيص واجبات الطلاب. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

المثابرة يبدأ الطلاب المتفوقون في الرياضيات بشرح معنى المسألة لأنفسهم والبحث عن نقاط بدء الحل. فيحللون المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف.  ويبتكرون فرضيات حول شكل الحل ومعناه ويخططون مسارا للحل بدلا من الانتقال ببساطة إلى محاولة الحل.

المثال 3 يوضح كيفية تطبيق قانون ال Cosine لحل مسائل من الحياة اليومية. 

مثال إضافي 

المطار طياران في طائرة غير متحركة في المطار ينظرون بزاوية 380 إلى اليسار من المدرج حافلة على بعد 75 مترا. وينظران إلى اليمين بزاوية 280  من المدرج ويرون شاحنة على بعد 110 أمتار. فكم تبعد الحافلة عن الشاحنة ؟ حوالي m 105 

التدريس باستخدام التكنولوجيا 

كاميرا المستندات عين عدة مسائل للصف الدراسي، وامنح الطلاب بعض الوقت لحلها. ثم اختر عددا من الطلاب لمشاركة حلهم وشرحه للصف، وتأكد من رسم الطلاب رسما تخطيطيا وشرح كيف رسم قرروا ما إذا كانوا سيستخدمون قانون ال Sine أم فانون ال Cosine لحل المسألة. 

انتبه! تجنب الأخطاء عندما يجب على الطلاب تحديد الطريقة التي يستخدمونها في الحل، فإنه يتعين 
مراقبة الطلاب الذين يعتقدون أن الزاوية محصورة. راجع تعريف الزوايا المحصورة معهم. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

الدقة يحاول الطلاب المتفوقون في الرياضيات استخدام تعريفات واضحة في استنتاجاتهم، والحساب بدقة وكفاءة. والاستفادة بشكل واضح من التعريفات. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

الاستنتاج المنطقي يبدأ الطلاب المتفوقون في الرياضيات . بشرح معنى المسألة لأنفسهم والبحث عن نقاط بدء الحل. ويحللون المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. ويتأكد الطلاب  المتفوقون في الرياضيات من إجاباتهم على المسائل باستخدام طريقة مختلفة. ويسألون أنفسهم باستمرار "هل هذا الجواب منطقي؟ 

التمثيلات المتعددة 

في التمرين 29. يصمم الطلاب رسما تخطيطيا ويستخدمون جدول القيم والتحليل لاستكشاف العلاقة بين ضلع الانتهاء لزاوية وميل المستقيم 

الصوت يمكن للبشر سماع الأصوات من فئة التردد Hz 40. 

a. أوجد فترة الدالة التي تمثل الموجات الصوتية. 0.025 ثانية 

b، افترض أن السعة تساوي وحدة واحدة. اكتب معادلة sine لتمثيل موجة الصوت على هيئة دالة للزمن t. ثم مثل المعادلة بيانيا. 

التركيز على محتوى الرياضيات 

السعة والفترة التمثيلات البيانية لدوال sine و cosine لها سعة. أما التمثبلات البيانية للدوال المثلثية الأخرى فليست لها سعة، بسبب عدم وجود قيم صغرى لها أو عظمى. والفترة هي المسافة على امتداد المحور الأففي اللازمة للتمثيل البياني ليكمل دورة واحدة. ويمكن تحديد الفترة بسهولة من التمثيل البياني. 

إرشاد للمعلمين الجدد 

التمثيل بيانيا قد ترغب في جعل الطلاب يرسمون تمثيلاتهم البيانية الخاصة بهم لدوال sine و cosine وظل الزاوية. ويمكن أن ينطوي هذا التعقيب الفوري على قائدة من حيث مساعدة 
الطلاب في اكتساب المهارات اللازمة لتمثيل الدوال المثلثية بيانيا. لا سيما وأنها أكثر تعقيدا من معظم التمثيلات البيانية 

1 التركيز 

الهدف استخدام حاسبة التمثيل البياني لاستكشاف تحويلات التمثيلات البيانية للدوال المثلثية. 

المواد الخاصة لكل طالب حاسبة التمثيل البياني PIus 83/84-Tl أو حاسبة تمثيل بياني من نوع آخر 

نصيحة للتدريس 

وضع الدرجات. لضبط الحاسبة اضغط على MODE  وحرك المؤشر لتحديد DEGREE واضغط على 
ENTER احرص كذلك على جعل الطلاب يمسحون قوائم Y= قبل بدء التمرين 1. 

2 التدريس 

العمل في مجموعات متعاونة 

اطلب من الطلاب العمل في مجموعات ثنائية والاستفادة من قدرات بعضهم البعض لإكمال النشاطين والتمرينين 1 و 2. 

اطرح السؤال التالي: 

كيف تغير الأقواس من معاني الدوال في الخطوتين 1و2 ؟ في الخطوة 1. يضاف عدد إلى قيمة 9 sin. بينما في الخطوة 2. يضاف عدد إلى 9 قبل إيجاد sine. 

كيف تغير الأقواس التمثيلات البيانية في الخطوتين 1 و 2 ؟ التمثيلات البيانية في الخطوة 1 "تتحرك" للأعلى أو للأسفل. بينما التمثيلات البيانية في الخطوة 2 "تتحرك" إلى اليمين أو اليسار. 

تدريب اطلب من الطلاب إكمال التمارين من 3 إلى 7.

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 11-8 إزاحة الدوال الأسية. 

الدرس 11-8 تمثيل الإزاحات الأفقية للتمثيلات البيانية المثلثية وإيجاد إزاحات الطور. التمثيل البياني للإزاحات الرأسية للتمثيلات البيانية المثلثية. 

بعد الدرس 11-8 استخدام حساب المثلثات في مجموعة متنوعة من التطبيقات والمسائل الكلامية. 

2 التدرس 

الأسئلة الداعمة 

اطلب من الطلاب قراءة القسم لماذا؟ الوارد في هذا الدرس. اطرح السؤال التالي: 

■ قارن بين موجتي المد والجزر من الفترات والسعات.  للموجتين الفترة والسعة ذاتهما. 

■ ما الذي يمتله المحور الأفقي ؟ المحور الأفقي يمثل الزمن مقدرا بالثواني. 

■ ما الذي يمثله المحور الرأسي ؟ المحور الرأسي يعرض الارتفاع فوق قاع الخليج. مقيسا بالسنتيمترات. 

■ بحسب الرسم التخطيطي. هل أعلى مستوى في تيار الجزر أكبر من أقل مستوى في تيار المد ؟ لا 

3 التمرين 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين من 1 إلى 11 للتحقق من استيعاب الطلاب. 

استخدم المخطط أسفل هذه الصفحة لتخصيص واجبات الطلاب. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

الاستنتاج المنطقي يبدأ الطلاب المتفوقون في الرياضيات بشرح معنى المسألة لأنفسهم والبحث عن نقاط بدء الحل. ويحللون المعطيات، والقيود والعلاقات والأهداف. ويتأكد الطلاب المتفوقون في الرياضيات من اجوبتهم عن المسائل باستخدام طريقة مختلفة. ويسألون أنفسهم باستمرار. "هل هذا جواب منطقي؟ 

التمثيلات المتعددة 

في التمرين 40. يستخدم الطلاب التمثيل البياني والتدوين بالرموز وإيجاد القيم العددية لاستكشاف دالة cosine العكسية. 

التقويم التكويني 

المفردات الأساسية 

تشير مراجع الصفحة بعد كل كلمة إلى المكان الذي ذكر فيه المصطلح لأول مرة. إذا واجه الطلاب صعوبة في الإجابة عن الأسئلة 1- 6. فذكرهم باستخدام هذه الصفحات المرجعية لإنعاش ذاكرانهم بشأن المفردات. 

منظم الدراسة 

المطويات دينا زايك 

اطلب من الطلاب إلقاء نظرة على الوحدة للتأكد من أنهم فد أضافوا بعض الأمثلة إلى مطوياتهم. واقترح عليهم إبقاء مطوياتهم بجانبهم أثناء إكمال صفحات دليل الدراسة والمراجعة. مشيرا إلى أن المطوبات تعد بمثابة أداة مراجعة سريعة عند المذاكرة من أجل اختبار الوحدة.