دليل المعلم وحدة المتطابقات والمعادلات المثلثية الرياضيات الصف العاشر المتقدم
مشروع الوحدة
تدوير العجلة
يستخدم الطلاب ما تعلموه عن المتطابقات المثلثية لإكمال مشروع معين.
يتناول مشروع هذه الوحدة المعرفة التجارية، والعديد من المهارات الخاصة الضرورية لنجاح الطالب في إطار عمل التعلم في القرن 21.
المفردات الأساسية قدم المفردات الأساسية في الوحدة متبعا النظام التالي.
تعريف: المتطابقة المثلثية هي معادلة تضم دالة مثلثية صحيحة عند جميع قيم المتغير.
مثال: المتطابقة - هي متطابقة زاوية سالبة. اطرح السؤال التالي: ما المتطابقات الاخرى التي تعلمتها في هذا العام تقريبا ؟ يمكن أن تختلف الإجابات: يمكن أن يذكر الطلاب مضمون المتطابقات أو الدالة المحايدة.
منظم الدراسة
المطويات دينا زايك
التركيز بكتب الطلاب ملاحظاب أثناء استكشاقهم المتطابقات والمعادلات المثلثية قي دروس هذه الوحدة.
التدريس اطلب من الطلاب إعداد حسب ما هو موضح.
مطويات وتسميتها واجعل الطلاب يستخدموا الجزء المناسب عند تناولهم كل درس في هذه الوحدة. وشجعهم على تطبيق ما تعلموه حول المتطابقات المثلثية عبر كتابة أمثلتهم الخاصة أيضا.
وقت الاستخدام اقترح على الطلاب إضافة المزيد إلى مطوياتهم أثناء دراسة الوحدة واستخدام تلك المطويات عند مراجعة المفاهيم للاستعداد لاختبار الوحدة.
التركيز
التخطيط الرأسي
قبل الدرس 12-1 إبجاد قيم الدوال المثلثية.
الدرس 12-1 استخدام المتطابقات المثلثية لإيجاد القيم المثلثية. واستخدام المتطابقات المثلثية لتبسيط التعابير.
بعد الدرس 12-1 استخدام المتطابقات المثلثية لحل مسائل من الحياة اليومية.
2 التدريس
الأسئلة الداعمة
كلف الطلاب بقراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس.
اطرح السؤال التالي:
■ في الطرف الأيمن من قانون الاستضاءة، ما المتغيرات التي تظهر في البسط ؟ وما المتغيرات التي تظهر في المقام ؟ الشدة؛ الاستضاءة والمسافة
■ في المثلث قائم الزاوية. ما نسبة الضلع المجاور ما الدالة العكسية
2 تبسيط التعابير
يوضح المثال 2 كيفية تبسيط تعبير عبر كتابته بدلالة دالة مثلثية واحدة. ويوضح المثال 3 تبسيط تعبير من الحياة اليومية يضم دوال مثلثية.
التركيز على محتوى الرياضيات
على الطلاب أن المتطابقات يجب يتذكروا جيدا متطابقات ناتج القسمة والمتطابقات العكسية والمتطابقات الفيثاغورية. ففي حين أنه من المفيد تذكر أنواع أخرى من المتطابقات. فإنه يمكن اشتقاق المتطابقات الأخرى من المتطابقات الأساسية.
التدريس باستخدام التكنولوجيا صفحة الويب أنشئ صفحة ويب الدراسي نتضمن جميع المتطابقات والصيغ المثلثية التي تضمها هذه الوحدة. واطلب من الطلاب الاشتراك فى خدمة تلقيم مقتطفات الأخبار حتى يتمكنوا من متابعة تحديثك للصفحة بكل سهولة.
3 التمرين
التقويم التكويني
استخدم التمارين من 1 إلى 8 للتحقق من استيعاب الطلاب.
استخدم المخطط أسفل هذه الصفحة لتخصيص واجبات الطلاب.
تدريس الممارسات في الرياضيات
المثابرة يبدأ الطلاب المتفوقون في المسألة لأنفسهم بشرح معنى والبحث عن نقاط بدء الحل. فيحللون المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. ويبتكرون فرضيات حول شكل الحل ومعناه ويخططون مسارا للحل بدلا من الانتقال ببساطة إلى محاولة الحل.
إرشاد للمعلمين الجدد
النسب المثلثية يمكنك استخدام التعريفات المألوفة لكل من sine و cosine و وظل الزاوية باعتبارها الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر في المثلث القائم لتبين السبب في
تدريس الممارسات في الرياضيات
تمثيل النماذج يستطيع الطلاب المتفوقون في الرياضيات تطبيق الحساب الذي يعرفونه لحل المسائل الناشئة في الحياة اليومية. وتحليل العلاقات رياضيا لاستخلاص وتفسير نتائجهم الرياضية في سياق الحالة.
التمثيلات المتعددة
يستخدم الطلاب في التمرين 36 جدولا للقيم وحاسبة تمثيل بياني لتحديد ما إذا كانت معادلة ما متطابقة مثلثية.
انتبه!
تحليل الخطأ في التمرين 42. على الطلاب ان يروا أن أحمد على صواب. اشرح للطلاب أن الاستنتاج الاستدلالي (التعميم بناء على عدة أمثلة) لا يمكن أن يثبت صحة متطابقة. بل إن أي مثال يكفي للإثبات أن مضاد محدد المعادلة ليست متطابقة.
بالنسبة للتمرين رقم 50. يجب ان يرى الطلاب أن أسماء على صواب (لأن =1 9 sin2+ 9 cos2) وأن إيمان لبست على صواب اشرح للطلاب أنهم حين يبسطون تعبيرا مثلثيا، فإنهم يستخدمون الخواص نفسها التي يستخدمونها عند تبسيط أي تعبير نسبي.
4 التقويم
الكرة البلورية أخبر الطلاب بأن ينتقلوا إلى الدرس 12-2. واطلب منهم أن يكتبوا كيف يعتقدون أن من شأن ما تعلموه اليوم أن يساعدهم في الدرس 12-2.
1 التركيز
التخطيط الرأسي
قبل الدرس 12-2 استخدام المتطابقات لإيجاد القيم المثلثية وتبسيط التعابير.
الدرس 12-2 اثبات صحة متطابقات مثلثية بتحويل أحد طرفي معادلة إلى صيغة الطرف الآخر. إثبات صحة المتطابقات المثلثية بتحويل كل طرف في المعادلة إلى الصيغة نفسها.
بعد الدرس 12-2 استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لإثبات صحة متطابقات مثلثية أخرى أو تبسيطها.
2 التدريس
الأسئلة الداعمة
كلف الطلاب بقراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس.
اطرح السؤال التالي: في الطرف الأيمن من معادلة زاوية الميل. ما المتغير الذي يظهر في البسط ؟ وما المتغير الذي يظهر في المقام ؟
تدريس الممارسات في الرياضيات
يبدأ الطلاب المتفوقون الاستنتاج المنطقي بشرح معنى المسأله لأنفسهم والبحث عن نقاط بدء الحل. ويحللون المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. ويتأكد الطلاب المتفوفون في الرياضيات من اجوبتهم عن المسائل باستخدام طريقة مختلفة. ويسألون أنفسهم استمرار. "هل هذا جواب منطقي ؟
بناء الفرضيات يستطيع الطلاب المتفوقون في الرياضيات فهم واستخدام الفرضيات والتعريفات والنتائج المثبتة سابقا في بناء الفرضيات، ويضعون فرضيات. ويبنون تقدما منطقيا للمسائل لاستكشاف حقيقة تقديراتهم. كما يمكنهم تحليل المواقف بتقسيمها إلى حالات، ويمكنهم التعرف على المثلثية الأمثلة المضادة واستخدامها. استكشف الطلاب المتطابقات وأثبتوا صحتها.
اطرح السؤال التالي:
■ لم تعد المتطابقات المثلثية مفيدة ؟ الاجابة النموذجية: توفر المتطابقات المثلثية طريقة لتبسيط الدوال المثلثية المعقدة عبر إعادة كتابة التعابير الموجودة ضمن الدوال بصيغ مكافئة. ولكنها أكثر ملاءمة.
1 التركيز
التخطيط الرأسي
الدرس 12-3 إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا العامة.
الدرس 12-3 إيجاد قيمتي sine وcosine باستخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما. إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما
بعد الدرس 12-3 استخدام متطابقات ضعف الزاوية ونصفها.
2 التدريس
الأسئلة الداعمة
كلف الطلاب بقراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس.
اطرح السؤال التالي: في أي مكان آخر سمعت عن مصطلح الاستقراء الإجابة النموذجية: على التلفاز والمذياع
ما وجه مقارنة سعة الموجة المتضامة في ذروتها بسعة الموجتين البدائيتن ؟ سعة الموجة المتضامة هو مجموع سعتي الموجتين البدائيتين..
لماذا تقطع الموجة المتضامة المحور الأفقي في نقطة لا تقطع فيها الموجتان البدائيتان المحور ؟ الموجة المتضامة هي مجموع الزاويتين الأخريين. وهي نقطع المحور الأفقي عند نقطتين، حيث نقع إحدى الموجتين البدائيتين فوق المحور الأففي والموجة الأخرى تبعد المسافة نفسها تحت المحور الأفقي X.
المتطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما
يوضح المثال 1 كيفية استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لإيجاد القيم الدقيقة للتعابير المثلثية. ويبين المثال 2 كيفية استخدام متطابقة الفرق لحل مسألة من الحياة اليومية.
التقويم التكويني
استخدم التمارين الواردة في القسم "تمرين موجه" بعد كل مثال للوقوف على مدى استيعاب الطلاب للمفاهيم.
المسافة راجع المثال 2. إذا كان Z يمثل المسافة بين الزاوية العلوية اليسرى للمنشأة وبين النقطة التي يقطعها النهر الحد العلوي.
التدريس باستخدام التكنولوجيا
كاميرا المستندات اختر بعض الطلاب لحل الأمثلة وشرح طريقة تطبيق المجموع والفرق لصيغ الزوايا.
2 اثبات صحة المتطابقات المثلثية يوضح المثال 3 كيفية استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لإثبات صحة المتطابقات المثلثية.
تدريس الممارسات في الرياضيات
الاستنتاج المنطقي يحلل الطلاب المتفوقون في مادة الرياضيات المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. فشجع الطلاب على التعرف على قياسات الزوايا التي يمكن تطبيق المتطابقات عليها بسهولة.
تمثيل النماذج يستطيع الطلاب المتفوقون في الرياضيات تطبيق الحساب الذي يعرفونه لحل المسائل الناشئة في الحياة اليومية، وتحليل العلاقات رياضيا لاستخلاص الاستنتاجات، وتفسير نتائجهم الرياضية في سياق الحالة.
2 متطابقات نصف الزاوية
يبين المثال 3 كيفية استخدام متطابقات نصف الزاوية لإيجاد القيمة الدقيقة لدالة مثلثية لزاوية فى الربع المعطى. ويوضح المثال 4 كيفية تبسيط معادلة تضم تعابير مثلثية. ويبين المثال 5 كيفية إثبات المتطابقات المثلثية باستخدام متطابقات أضعاف الزوايا.
انتبه!
تجنب الأخطاء أكد على "نصيحة للتدريس" في الهامش المجاور للمثال 3. ومن شأن تحديد الإشارة الصحيحة للإجابة في بداية الحساب أن يساعد بعض الطلاب في تلافي نسيان هذه الخطوة في نهاية حساباتهم.
التدريس باستخدام التكنولوجيا
تسجيل الفيديو اقسم الصف الدراسي إلى مجموعات. وكلف كل مجموعة بحل مسألة نصف زاوية أو زاوية مزدوجة. واطلب من المجموعة إعداد تسجيل فيديو يعرض كيفية تطبيق الصيغة المناسبة لحل المسألة. وحاول تكليف الصف بأكبر عدد ممكن من المسائل.
الهدف استخدام حاسبة التمثيل البياني لحل المعادلات المثلثية.
المواد الخاصة لكل طالب
• حاسبة التمثيل البياني Plus 83/84-Tl أو حاسبة تمثيل بياني من نوع آخر
نصيحة للتدريس
في النشاط 1. يمكن أيضا إيجاد حلول تقريبية عبر استخدام الميزة Trace ولكن في معظم الحالات، ستعطي ميزة التقاطع حلولا أكثر دقة.
ذكر الطلاب بأن يستخدموا النوافذ المناسبة لتمثيلاتهم البيانية.
2 التدريس
العمل في مجموعات متعاونة
اطلب من الطلاب العمل في مجموعات ثنائية بحيث يمكنهم مساعدة بعضهم البعض في تصحيح أخطاء خطوات العملية على الحاسبة. اطلب منهم إتمام النشاطين 1 و 2 والتمرين 1.
اطرح السؤال التالي :
■ كيف ترتبط حلول المعادلات بنقاط تقاطع التمثيلات البيانية ؟ الحلول هي قيم «الخاصة بنقاط التقاطع.
■ كيف تعرف أن معادلة ما ليس لها حلول ؟ لا يتقاطع التمثيلان البيانيان
تدريب اطلب من الطلاب إكمال التمارين من 2 إلى 6.
1 التركيز
التخطيط الرأسي
قبل الدرس 12-5 إثبات صحة المتطابقات المثلثية.
الدرس 12-5 حل المعادلات المثلثية. وإيجاد الحلول الدخيلة في المعادلات المثلثية.
بعد الدرس 12-5 استخدام حساب المثلثات لحل مسائل من الحياة اليومية.
2 التدريس
الأسئلة الداعمة
كلف الطلاب بقراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس.
اطرح السؤال التالي:
■ خذ أي نقطة على الأرجوحة الدوارة. ما مسافة انتقال تلك النقطة خلال دورة واحدة ؟ 4OT أو حوالي 125.7
■ ما المسافة التي يقطعها موقع ما على الأرجوحة الدوارة خلال دقيقة واحدة ؟
يوضح المثال 4 كيفية حل معادلة مثلثية واختبار الحلول الدخيلة. ويوضح المثال 5 كيفية استخدام المتطابقات لحل معادلة
تدريس الممارسات في الرياضيات
التوافق يلاحظ الطلاب المتفوقون في الرياضيات تكرار العمليات الحسابية. ويبحثون عن الطرق العامة والمختصرة معا. ويقيمون باستمرار مدى منطقية نتائجهم الوسيطة. شجع الطلاب على دراسة حلولهم عن كثب وكتابتها بأبسط صورة ممكنة.
التركيز على محتوى الرياضيات
العدد اللانهائي من الحلول لكثير من المعادلات المثلثية عدد لا نهائي من الحلول. فإن لم نحدد فترة لحصر عدد الحلول، فيجب تحديد العدد اللانهائي من الحلول عن طريق استخدام تعبير
بدلا من مجرد استخدام عدد. وهناك حل يظهر لكل تدوير كامل حول نقطة الأصل. وهو حل له الصيغة حيث» هي أي عدد
التدريس باستخدام التكنولوجيا
دفتر الملاحظات اطلب من الطلاب كتابة ملاحظات في دفتر الملاحظات اليومية عن كيفية حل المعادلات المثلثية. واطلب منهم أن يصفوا وجه تشابه هذه العملية واختلافها عن حل أنواع أخرى من المعادلات.
التقويم التكويني
استخدم التمارين من 1 إلى 29 للتحقق من الاستيعاب. ثم استخدم المخطط الموجود في الجزء
السفلي من هذه الصفحة لتخصيص واجبات الطلاب.
تدريس الممارسات في الرياضيات
التوافق يلاحظ الطلاب المتموفون في الرياضيات تكرار العمليات الحسابية إن وجد. ويبحثون عن الطرق العامة والمختصرة معا. ويحافظ الطلاب المتفوقون في الرياضيات على مراقبة العملية أثناء العمل على حل المسألة مع الانتباه إلى التفاصيل، ويقيمون على نحو مستمر مدى صحة نتائجهم الوسيطة.
إرشاد للمعلمين الجدد
الرمز في جميع إجابات هذا الدرس التي تتضمن k. يعتمد على أنه أي عدد صحيح.
إجابة إضافية
21b. كل يوم من 19 فبراير إلى 20 أكتوبر: التفسير النموذجي: بما أن أطول أيام السنة يصادف يوم 22 فلا بد أن يزداد طول الأيام يونيو، الواقعة بين 19 فبرابر و 20 أكتوبر حتى تاريخ 22 يونيو ومن ثم سوف تتناقص من حيث الطول حتى تاريخ 20 أكتوبر.
إجابات اضافية
60. يمكن أن ينطلب كل نوع من المعادلات جمع العدد نفسه إلى كلا طرفي المعادلة أو طرحه أو الضرب فيه أو القسمة عليه. ويمكن في أغلب الأحيان حل المعادلات المثلثية عبر التحليل إلى عوامل. ولا تتطلب المعادلات الخطية والتربيعية متطابقات. ويمكن حل جميع المعادلات الخطية والتربيعية جبريا. بينما يمكن حل بعض المعادلات المثلثية بصورة أسهل عبر استخدام حاسبة تمثيل بياني. وللمعادلة الخطية حل وحيد على الأكثر. وللمعادلات التربيعية حلان على الأكثر. وللمعادلة المثلثية عادة عدد لا نهائي من الحلول. إلا إذا كانت قيم المتغير مقيدة.
61. الإجابة النموذجية: جميع المعادلات لذلك. حالما يتم المثلثية دورية. و إيجاد حل واحد أو أكثر لفترة محددة. فستكون هناك حلول أخرى يمكن إيجادها عبر جمع مضاعفات " لفترة الدالة إلى هذه الحلول.
التقويم التكويني
المفردات الأساسية .
المرجعية المذكورة بعد كل كلمة إلى الموضع الذي ورد فيه ذلك المصطلح لأول مرة. فإذا واجه الطلاب صعوبة في الإجابة عن الأسئلة 9). فذكرهم باستخدام هذه الصفحات المرجعية لإنعاش ذاكراتهم بشأن المفردات.
منظم الدراسة
المطويات دينا زايك
اطلب من الطلاب إلقاء نظرة على الوحدة للتأكد من أنهم قد أضافوا بعض الأمثلة إلى مطوياتهم. واقترح عليهم إبقاء مطوياتهم بجانبهم أثناء إكمال صفحات دليل الدراسة والمراجعة. مشيرا إلى أن المطويات تعد بمثابة أداة مراجعة سريعة عند المذاكرة من أجل اختبار الوحدة.