حل درس الدوال المثلثية الدائرية والدورية الرياضيات الصف الحادي عشر

حل درس الدوال المثلثية الدائرية والدورية الرياضيات الصف الحادي عشر

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 11- 6 إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام زوايا المرجع. 

الدرس 11- 6 إيجاد قيم الدوال المثلثية باستخدام دائرة الوحدة. استخدام خصائص الدوال الدورية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. 

بعد الدرس 11- 6 رسم وتفسير التمثيلات البيانية لدوال sine و cosine. 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

اطلب من الطلاب قراءة القسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس. 

اطرح السؤال التالي: استخدم الارتفاعين الأقصى والأدنى للدواسة لإيجاد قطر الدائرة. 

الأدنى الأقصى قطر الدائرة cm =14 4— =18 

استخدم ارتفاع مركز الدائرة لإيجاد القطر يساوي قطر الدائرة. نصف اذا نصف القطر يساوي cm =14

ما موضع بدء الدواسة ؟ يتوافق موضع البدء مع =O t ثوان. وعندها تكون أعلى الرسم التخطيطي. 
 

الدوال الدائرية 

المثال 1 بوضح كيفية إيجاد sine و cosine لنقطة على دائرة الوحدة. 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين الواردة في القسم تمرين موجه" بعد كل مثال للوقوف على مدى استيعاب الطلاب للمفاهيم. 

مثال إضافي 

ضلع الانتهاء للزاوية 0 في الوضع القياسي يتقاطع مع دائرة الوحدة عند أوجد قيمة 0 COS و 0 sin. 

2 الدوال الدورية 

المثال 2 بوضح كيفية استخدام التمثيل البياني لتحديد فترة الدالة. والمثال 3 يوضح كيفية حل مسألة من الحياة اليومية باستخدام الطبيعة الدورية للدوال المثلثية. في حين أن المثال 4 يوضح كيفية إيجاد قيمة دالة مثلثية باستخدام فترة الدالة.

تمرين موجه 

2. ارسم تمثيلا بيانيا لدالة لها فترة من 4. انظر الهامش. 

يعد دوران العجلات والدواسات ودوامات الخيل بمدن الملاهي والأجسام في الفضاء دورانا دوريا. 

استخدام الدوال المثلثية 

قيادة الدراجات راجع بداية الدرس. يختلف ارتفاع دواسة الدراجة دوريا كدالة زمن، مثلما هو في الشكل. 

ارسم جدولا يبين ارتفاع دواسة الدراجة بعد 0. 0.5. 1.0. بعد O ثانية. يكون ارتفاع الدواسة 18 سنتيمترا. وبعد  ثانية. يكون ارتفاع الدواسة 11 سنتيمترا. وبعد 1.0 ثانية. يكون الارتفاع 4 سنتيمترات وهكذا. 

b. حدد فترة الدالة. 

الفترة هي الوقت المستغرق لعمل لفة واحدة كاملة. إذا. الفترة هي ثانيتان. 

مثل الدالة بيانيا. وافترض أن المحور الأفقي يمثل الوقت t والمحور الرأسي يمثل ارتفاع h الدواسة عن الأرض بالسنتيمترات. 

أقصى ارتفاع للدواسة هو 18 سنتيمترا وأدنى  ارتفاع هو 4 سنتيمترات. ولأن فترة الدالة ثانيتان. 

يتكرر نمط التمثيل البياني على فترات من ثانيتين. 

تمرين موجه 

3. قيادة الدراجات بقود سائق اخر الدراجة ذاتها بمعدل لغة واحدة كل ثانية. 

A. ارسم جدولا ببين ارتفاع دواسة الدراجة بعد 0، 0.5، I.O. 1.5. 2O، 2.5، 3O ثوان. 

b. حدد الفترة ومثل الدالة بيانيا 1؛ انظر الهامش للاطلاع على التمثيل البياني. 
 

قيادة الدراجة الهوائية ارجع إلى المثال التطبيقى الموجود في بداية الدرس. تجد أن ارتفاع دواسة الدراجة الهوائية يتغير على نحو دوري كدالة زمنية، بحسب ما هو موضح في الشكل. 

a. أنشى جدولا يوضح ارتفاع دواسة الدراجة الهوائية عند الارتفاع (cm) 

b. حدد فترة الدالة. ثانيتان 

C. مثل الدالة ببانيا. وافترض أن المحور الأفقي يمثل الوقت t والمحور الرأسي يمثل ارتفاع / الدواسة عن الأرض بالسنتيمترات. 

أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة. 6900 COS a. 

التدريس باستخدام التكنولوجيا 

تسجيل الصوت اطلب من الطلاب إنشاء تسجيلات صونية توضح كيفية إيجاد القيمة الدقيقة لدالة مثلثية لزاوية قباسها أكبر من 3600 (أو أقل من 360-). أعط الطلاب أمثلة محددة 

3 التمرين 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين من 1 إلى 8 للتحقق من استيعاب الطلاب. ثم استخدم المخطط الموجود في الجزء  السفلي من هذه الصفحة لتخصيص واجبات الطلاب. 

تدريس الممارسات في الرياضيات 

البنية يدقق الطلاب البارعون في مادة الرياضيات لتمييز نمط أو بنية. 

19. الطقس موضح بالجدول متوسط درجة الحرارة العظمى في كل شهر لإحدى المدن. 

a. ارسم تمثيلا بيانيا للدالة بمثل هذه الحالة انظر الهامش. 

b. صف فترة الدالة.  

أوجد القيمة الدقيقة لكل تعبير مما يلي. 

26. الاستنتاج المنطقي في صورة التحرك الصفحة على اليسار. تسمى المسافة d الواقعة بين المكبس ومركر الدائرة العمود المرفقي. وهي عبارة عن دالة السرعة لعصا الكبس. وتدور النقطة R الواقعة على عصا المكبس 150 لفة في الثانية. 

b، حدد فترة الدالة على هيئة جزؤ من الثانية. 

b. إذا كانت أفصى مسافة d هي 0.5 سنتيمتر.  وأطول مسافة هي 3.5 سنتمترات ارسم تمثيلا ببانيا للدالة مع فرض أن المحور الأفقي يمثل الزمن 1. والمحور الرأسي بمئل المسافة 0. انظر الهامش. 

الأعاصير تصنع صافرة إنذار الأعاصير 2.5 لفة في الدقيقة ويصل نصف قطر شعاع الصوت 1 كيلومتر يقع منزل السبدة هدى على بعد أ كيلومتر من الصافرة ويختلف بعد الشعاع الصوئطتي عن منزلها دوريا على هيئة دالة زمن. 

a. حدد فترة الدالة بالثواني. 24 ثانية 

b. ارسم تمثيلا بيانيا للدالة مع فرض أن المحور الأفقي يمثل الزمن t من O ثانية حتى 60 ثانية. وفرض أن المحور الرأسي يمثل المسافة d بين الشعاع الصوني ومنزل السيدة هدى في زمن 1. انظر الهامش. 

28. عجلة فيريس الدوارة يصل قطر عجلة دوارة في الصين إلى 155 مترا تقريبا ويعد ارتفاع المقصورة أ دالة للزمن 1. ويستغرق عمل لفة واحدة كاملة حوالي 30 ثانية افترض أن الارتفاع عتد مركز العجلة يمثل الارتفاع عند الزمن 0. ارسم تمثيلا بيانيا للدالة. انطر الهامش.

تدريس الممارسات في الرياضيات 

الاستنتاج المنطقي يبدأ الطلاب المتفوقون في الرياضيات. بشرح معنى المسألة لأنفسهم والبحث عن نقاط بدء الحل. ويحللون المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. ويتأكد الطلاب من إجاباتهم المتفوقون في الرياضيات من على المسائل باستخدام طريقة مختلفة. ويسألون أنفسهم باستمرار "هل هذا الجواب منطقي ؟ 

التمثيلات المتعددة 

في التمرين 29. يرسم الطلاب رسما تخطيطيا ويستخدمون جدول القيم والتحليل لاستكشاف العلاقة بين ضلع الانتهاء لزاوية وميل المستقيم الذي يمثلها

إجابات اضافية  19a. موسم درحات الحرارة المرتفعة 

التمثيلات المتعددة يتقاطع ضلع الانتهاء لزاوية ما في الوضع القياسي مع دائرة الوحدة عند النقطة P. كما هو موضح في الشكل. 

b، هندسيا انسخ الشكل. وارسم مستقيمات تمثل الزوايا  جدوليا استخدم جدول فيه لتوضبح ميل كل مستقيم مقربا إلى أقرب جزء من عشرة. 

C. تحليليا ما الاستنتاجات التي يمكنك الخلوص إليها عن العلاقة بين ضلع الانتهاء للزاوية والميل ؟ اشرح استنتاجك. 

عكاز البهلوان يقفز شخص لأعلى وأسفل على عكاز بهلوان بمعدل ثابت. والفرق ببن أعلى وأدنى نقطتين له هو 60 سنتيمترا يقفز هذا الشخص 50 مرة في الدقيقة 

a. صف المتغير المستقل والمتغير التابع للدالة الدورية التي تمثل هذه الحالة ثم اذكر فترة الدالة بالثواني. 

b، ارسم تمثيلا بيانيا يعبر عن تغير ارتفاع الشخص الواثب بالنسبة إلى نقطة البداية لديه. افترض أن نقطة البداية في المنتصف بين أعلى نقطة وأدنى نقطة له وافترض أيضا أن المحور الأفقي يمثل الزمن t بالثواني  

مهارات التفكير العليا استخدام مهارات التفكير العليا 

41. فترة الدالة الدورية هي المسافة الافقية 
للجزء غير المتكرر من التمثيل البياني. 

التحد شعاع له نقطة طرفية عند نقطة الأصل في المستوى الإحداثي. وتقع النقطة أد على الشعاع. أوجد الزاوية e التي كونها المحور X مع الشعاع 60

التبرير هل تكون فترة نتحنى sine من مضاعفات أحيانا، أم دائما. أم لا تكون أبدا ؟ برر استنتاجك. 

مسألة غير محددة الإجابة ارسم التمثيل البياني لدالة دورية قيمتها العظمى IO وقيمتها الصغرى IO—. صف فترة الدالة. انظر الهامش. 

41. الكتابة في الرياضيات اشرج طريقة تحديد فترة دالة دورية من تمثيلها البياني مع تضمين وصف للدورة.

4 التقويم 

عين مصطلح الرياضيات اطلب من الطلا أن يصفوا كيف يمكنهم إيجاد نقاط على دائرة الوحدة في كل من الأرباع وعلى كل من المحاور. 

إجابة اضافية 

42. الإجابة النموذجية: حرك التمثيل البياني لـ (f بمقدار 4 وحدات إلى اليسار و 3 وحدات إلى الأسفل للحصول على التمثيل البياني 

حل كل مثلث، وقرب أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. 

حدد ما إذا كان كل مثلث بلا حل. أو له حل واحد. أو حلان. ثم حل المثلث، وقرب أطوال الأضلاع إلى أقرب جرء من عشرة وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. 

تصل نسبة نجاح التوزيع ذي حدين إلى %70. وهناك IO محاولات. 

53. ما احتمال فشل 3 محاولات ؟ 0.267 

52. حل واحد؛ 

54. ما احتمال نجاح 7 محاولات على الأقل، 0.6496 

55. ما العدد المتوقع للمحاولات الناجحة ؟ 7 

56. الألعاب يوضح الرسم التخطيطي لوحة إحدى الألعاب التي يتم فيها إسقاط كرات من ممر مائل وحسب نمط من المسامير والحواجر، تتجه الكرات في مسارات مختلفة إلى الأفسام السفلية بالنسبة إلى كل قسم. كم عدد المسارات الموجودة باللوحة التي تؤدي إلى ذلك القسم ؟ 1.4,6,4,1 

57. الرواتب يصل الرااب الحالي لفهد 40.000 AED في العام ودائما ما تكون الزيادة السنوية في راتبه نسبة من الراتب في ذلك الوقت فماذا سبكون راتبه إذا حصل على أربع زيادات منتالية نسبتها 4 ؟ 34.46.794 AED 

التدريس المتمايز 

اشرح للطلاب التمثيلات البيانية لكل من X =COS  و 2 y =COS و 3x =COS y. ا اذكر الفترة لكل دالة. 1200 ,1800 ,3600 واطلب منهم تحديد الفترة للدالة x =COS y.